Un punto qualsiasi giacente sull'asse della condotta ha affondamento pari a \(h = \frac{p}{\gamma}\), dove \(p\) è la pressione del punto. Il problema del moto vario, qui accennato, non presenta una soluzione diretta, tuttavia è possibile una soluzione con i metodi propri del calcolo numerico.
La Chiusura Istantanea e la Propagazione dell'Onda di Pressione
Si supponga che venga eseguita una manovra istantanea di chiusura, ossia che venga interrotto bruscamente il deflusso della portata. La chiusura istantanea all'otturatore e il conseguente arresto del flusso non è seguito da un immediato arresto della quantità di moto di tutta la massa liquida nella condotta; ciò comporterebbe un aumento infinito della pressione e questa situazione non è ammissibile.
Si genera quindi un'onda che va dall'otturatore al serbatoio. La velocità dell'onda, altresì detta celerità, è \(c = \frac{ds}{dt}\), dove \(ds\) è lo spostamento infinitesimo e risulta che \(ds = cdt\). Mentre il tempo è \(t_0 < t < \frac{L}{c}\), a monte dell'otturatore si arresta solo un volume infinitesimo di acqua di lunghezza \(ds\). La velocità non cambia verso in quanto la colonna liquida non subisce subito l'influsso dell'onda. Il volume della massa in quiete dovrà ridursi per compressione con conseguente aumento di pressione; inoltre si nota come quest'onda inverta il verso della velocità \(V_0\).
Due punti disposti sull'asse del condotto devono avere altezze e pressioni uguali; invece abbiamo una \(p\) e una \(p+\Delta p\). Si crea una nuova onda che va dal serbatoio all'otturatore. Il tempo in cui quest'onda percorre tutta la lunghezza della condotta è \(\frac{L}{c} < t < \frac{2L}{c}\) e lo spazio totalmente percorso dall'onda è \(ds = 2L - cdt\). Questa nuova onda riesce ad abbattere la sovrappressione ma, anche se la pressione si è stabilizzata, il verso della velocità \(V_0\) non si è ristabilito.
Quindi si crea una nuova perturbazione che va dall'otturatore al serbatoio; tale onda tuttavia non riesce a riportare il giusto verso della velocità, anzi si crea una depressione pari a \(p-\Delta p\). Il tempo in cui l'onda percorre la condotta è \(\frac{2L}{c} < t < \frac{3L}{c}\).
Si crea quindi un'ultima onda in quanto sono presenti due valori di pressione. Essa va dal serbatoio all'otturatore ed il tempo che l'onda impiega per percorrere la lunghezza della condotta è \(\frac{3L}{c} < t < \frac{4L}{c}\). Tale perturbazione riesce ad abbattere la depressione e a riportare il giusto verso della velocità \(V_0\).
L'onda ha percorso in totale uno spostamento complessivo di \(4L\) ad un tempo totale \(T = \frac{4L}{c}\) e le condizioni di equilibrio sono ristabilite.
Equazioni Fondamentali del Moto Vario e del Colpo d'Ariete
Al fine di determinare gli aspetti qualitativi fondamentali del colpo d'ariete, si determinano soluzioni semplificate relative agli impianti idroelettrici e a quelli di sollevamento. I casi richiamati permettono una notevole semplificazione delle due equazioni generali alla base del problema, rendendo facilitata la loro integrazione.
Ipotesi Semplificative per il Calcolo del Colpo d'Ariete
- I liquidi convogliati presentano una bassa compressibilità, ossia un elevato modulo di elasticità a compressione volumetrica dal valore \(\varepsilon = \rho \frac{dp}{d\rho}\), in cui \(\varepsilon\) può ritenersi costante al variare della pressione.
- Le condotte verranno considerate cilindriche con sezione e spessore costanti per tutta la loro lunghezza; costruite con materiale a bassa deformabilità, come acciaio o ghisa, ossia con materiali che abbiano un elevato modulo di elasticità \(E\).
- L'ordine di grandezza della velocità media della corrente sarà al massimo di qualche metro al secondo; pertanto, la relativa altezza cinetica avrà valori modesti e, quindi, trascurabile rispetto all'altezza piezometrica (il cui valore potrà raggiungere l'ordine delle decine o centinaia di metri).
- Salvo il caso di condotte molto lunghe, i processi di colpo d'ariete si esauriscono in tempi molto brevi; pertanto le resistenze al moto non influenzano sensibilmente il flusso in condotta e potranno essere trascurate.
Facendo riferimento alle caratteristiche elastiche del liquido e della condotta è possibile concludere che le variazioni, anche rilevanti, di pressione all'interno del tubo determinano piccole variazioni sia della densità \(\rho\) del liquido sia dell'area \(A\) della corrente in funzione della coordinata, per cui possono essere trascurate nelle equazioni alla base del moto. Risulta, quindi: \(\frac{\partial \rho}{\partial s} \cong 0\) e \(\frac{\partial A}{\partial s} \cong 0\).
Con queste premesse, si ricorda che la quota piezometrica è data dalla seguente equazione: \(h = z + \frac{p}{\gamma}\), la quale è funzione sia di \(s\) che di \(t\). Pertanto, per le ipotesi assunte, l'equazione (1.12) diviene: \(\frac{\partial h}{\partial s} + \frac{1}{g} \frac{\partial V}{\partial t} + J_s = 0\). Poiché per il seguito è opportuno avere il verso positivo dell'ascissa curvilinea della condotta contrario alla direzione di moto permanente, l'equazione precedente diviene: \(\frac{\partial h}{\partial s} = \frac{1}{g} \frac{\partial V}{\partial t} + J\). Tenendo conto dell'ultima ipotesi, si trascurano le resistenze al moto, quindi \(J=0\) e risulta:
\(\frac{\partial h}{\partial s} = \frac{1}{g} \frac{\partial V}{\partial t}\) (2.4)
Mentre la seconda equazione alla base del moto vario (1.14), sulla base delle ipotesi antecedente descritte, diviene: \(\frac{\partial V}{\partial s} + \frac{1}{A} \frac{dA}{dp} \frac{\partial p}{\partial t} + \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dp} \frac{\partial p}{\partial t} = 0\), osservando che: \(\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{\varepsilon}\) e \(\frac{1}{\gamma} \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial h}{\partial t}\). Invertendo il segno si ottiene:
\(\frac{\partial V}{\partial s} = -\left( \gamma \frac{1}{A} \frac{dA}{dp} + \frac{1}{\varepsilon} \right) \frac{\partial h}{\partial t}\) (2.6)
In definitiva le equazioni alla base del colpo d'ariete sono:
\(\begin{cases} \frac{\partial h}{\partial s} = \frac{1}{g} \frac{\partial V}{\partial t} \\ \frac{\partial V}{\partial s} = -\left( \gamma \frac{1}{A} \frac{dA}{dp} + \frac{1}{\varepsilon} \right) \frac{\partial h}{\partial t} \end{cases}\) (2.7)
Per la soluzione del sistema sono necessarie le condizioni iniziali ed al contorno e bisogna tener conto della legge di variazione dell'area della sezione del condotto \(A = A(p)\). Per continuare la trattazione e l'integrazione del sistema di equazioni è necessario rifarsi al caso particolareggiato che si determina a seguito della manovra istantanea di un otturatore inserito all'estremità di una condotta.
Manovre Istantanee all'Otturatore: Analisi Dettagliata
Si assuma che un serbatoio A, che alimenta la condotta, abbia grandi dimensioni in modo da poter ritenere la quota del livello idrico \(z_A\) costante durante tutto il tempo di durata del fenomeno. Si supponga che la condotta, di lunghezza L, abbia sezione costante e sia costituita da materiale rigido. Quest'ipotesi non è particolarmente restrittiva, in quanto la soluzione per condotte indeformabili può essere facilmente ricondotta a quella per condotte elastiche attraverso una modifica al modulo di elasticità del liquido.
Viene ipotizzato, inoltre, che all'estremità a valle della condotta sia presente un organo otturatore, il cui scopo è di regolare la portata defluente. Sia \(V_0\) la velocità media della corrente nella condotta quando l'otturatore è completamente aperto, per cui risulta che il moto della corrente è permanente. Per l'analisi di tale fenomeno si continua a trascurare l'influenza dell'altezza cinetica a causa delle basse velocità riscontrabili nelle condotte, così ugualmente vengono trascurate le perdite di carico; in tal modo la linea piezometrica e quella dei carichi totali coincideranno e si troveranno sulla quota del pelo libero del serbatoio, ovvero \(z_A\).
Viene ora eseguita una manovra istantanea di chiusura per interrompere bruscamente il defluire della portata della sezione \(s\). Le ascisse avranno origine nella sezione dell'otturatore e avranno verso positivo in direzione del serbatoio. Alla chiusura dell'otturatore però non consegue un arresto immediato di tutta la colonna liquida; se ciò accadesse si annullerebbe istantaneamente la quantità di moto della massa d'acqua. Tuttavia per il teorema della quantità di moto, ci sarebbe un aumento infinito di pressione all'interno della tubazione; questa conclusione teorica è in disaccordo con le osservazioni empiriche che evidenziano un aumento finito di pressione.
Effettivamente, in un intervallo di tempo infinitesimo \(dt\) successivo alla chiusura dell'otturatore, si arresta solo un volume infinitesimo di liquido di lunghezza \(ds\), mentre la restante parte di liquido non risente ancora della chiusura della valvola regolatrice di portata e pertanto continuerà il suo moto alla velocità media \(V_0\). Come conseguenza di questa situazione si ha che la sezione a monte del volume infinitesimo arrestatosi per effetto della chiusura dell'otturatore si sposterà verso valle della quantità \(V_0 dt\). Ciò significa che il volume della massa liquida ormai in quiete dovrà ridursi per compressione con conseguente aumento della pressione \(\Delta p\) agente sulla faccia di monte del volume stesso. La variazione di pressione \(\Delta p\) è calcolata mediante l'utilizzo del teorema degli impulsi.
A tale scopo si eguaglia la variazione della quantità di moto subita dalla massa \(\rho A ds\) in quiete all'impulso delle forze agenti sulla massa stessa:
\(\rho A ds V_0 = A \Delta p dt\) (2.8)
Per cui risulta che la variazione di pressione è:
\(\Delta p = \rho V_0 \frac{ds}{dt}\) (2.9)
dove per ipotesi:
\(c = \frac{ds}{dt}\) (2.10)
e \(c\) rappresenta la celerità della perturbazione, ossia la velocità con cui si muove il fronte d'onda che delimita la parte di liquido già in quiete da quello ancora dotato di velocità \(V_0\).
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